Оптимизация денежных потоков. Часть 1

Резюме

Данный цикл статей будет посвящен методу оптимизации денежный потоков в принятии управленческих решений. Тут частично будут затронуты и сами методы оптимизации, но в основном статьи будут направлены на то, как правильно сформулировать оптимизационную задачу и получить необходимый результат.

Принятие лучших решений не всегда дает максимальный результат

Сразу начну с примера. Имеется три возможных проекта, для инвестирования. Бюджет ограничен  $500 тыс. Требуется определить, какие проекты следует финансировать. Показатели проектов представлены в таблице.

Номер проекта	Затраты	Доход	Чистая прибыль	Рентабельность
1	100	130	30	0,3
2	300	360	60	0,2
3	200	250	50	0,25

Если руководствоваться принципом, что в первую очередь надо принимать самые прибыльные проекты, то решением будут первый и третий проекты, и их суммарная прибыль будет $80 тыс. Но это не самое оптимальное решение. Наибольшую прибыль ($110 тыс.) можно получить, если принять второй и третий проекты.

Знающие люди сразу заметят, что данная задача подобна классической задачей о ранце, которая относится к классу NP-полных, т.е.  оптимальное решение можно найти только полным перебором или его вариациями (методом ветвей и границ, динамическим программированием). Алгоритм, по которому принимаются решения начиная с самых лучших, покуда не будет достигнуто ограничение, называется "жадным". Он может не дать самый оптимальный результат. В примере это и происходит.

В итоге, можно сказать, что оценка инвестиций - это только пол дела. Не менее важной задачей является определение набора инвестиций, который удовлетворяет ограничениям и максимизирует целевую функцию.

Учтем остаток средств

В учебном пособии Зайцева М.Г. и Варюхина С.Е. "Методы оптимизации управления и принятие решений: примеры, задачи, кейсы" есть одна задача на оптимизацию:

"Компания имеет шесть различных возможностей вложить деньги. Каждая из возможностей требует определенных инвестиций в течение ряда лет (в таблице отрицательные значения) и после определенного срока приносит прибыли (положительные числа в таблице).

Годы	Проект А	Проект Б	Проект В	Проект Г	Проект Д	Проект Е
1	-500	-900	-1200	-700	-2000	-1800
2	-600	-600	-1000	-500	600	-1500
3	-1600	610	-500	-2000	600	-1000
4	1200	400	-500	-1000	600	-1000
5	1400	500	2500	-1500	600	3500
6	1500	950	2500	8000	600	3500

Компания хочет вложить капитал в те проекты, которые максимизируют
суммарную для всех проектов чистую приведенную стоимость в расчете на шесть лет при ставке дисконта 5% годовых. 

Компания имеет инвестиционный бюджет, который не должен быть
превышен для каждого года, а именно, на первый год не более $4.5 млн.
инвестиций, на второй год не более $2.5 млн. и на третий год – $2.2 млн., далее
компания должна иметь положительный денежный поток по выбранным
проектам. 

Предполагается, что любой проект финансируется либо полностью, либо
не финансируется совсем."

Решается данная задача так:

AX -> max
BX+С >= 0

где А - чистая приведенная стоимость по проектам;

X - вектор решений по проектам (элементы могут принимать значения ноль либо один);
B - матрица денежных потоков проектов;

С - вектор доступных средств.

Решая данную систему вы получите тот же ответ, что и в учебнике: 

"Финансируются проекты А, В и Д. Максимальная суммарная чистая приведенная стоимость $2 301."

Но внимательные тут могут заметить, что остаток неиспользованных средств в конце каждого периода не переносился на следующий.  Решается данное упущение совсем просто:


AX -> max
E(BX+С) <= 0

где А - чистая приведенная стоимость по проектам;

X - вектор решений по проектам (элементы могут принимать значения ноль либо один);
E - бинарная нижнетреугольная матрица;
B - матрица денежных потоков проектов;

С - вектор доступных средств.

Матрица E выполняет собой функцию кумулятивной суммы, т.е. сальдо предыдущего периода переносится на начало следующего. В итоге оптимизации у нас получится, что следует финансировать проекты А, Б, Г, Д и суммарная чистая приведенная стоимость составит 3049.